РОЗЕТКИ
Команда-участник XII сетевого регионального математического проекта "В мире ломаных чисел"
Дроби Древнего мира
Исторически дроби возникли в процессе измерения, а также в силу практической необходимости разделить один целый объект между несколькими людьми (например, деление туши животного между несколькими охотниками).
В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи.
В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи.
Аликвотные дроби
- дроби, в числителе которых стоит единица, а в знаменателе – натуральное число.
Представление дроби в виде суммы аликвотных дробей
1 случай (разложение дроби с числителем, равным 1)
1 шаг. Домножить числитель и знаменатель дроби на сумму взаимно простых делителей знаменателя (если знаменатель - простое число, то на сумму знаменателя и единицы).
2 шаг. Представить числитель как сумму полученных чисел. Выполнить почленное деление и сократить получившиеся дроби.
1 шаг. Домножить числитель и знаменатель дроби на сумму взаимно простых делителей знаменателя (если знаменатель - простое число, то на сумму знаменателя и единицы).
2 шаг. Представить числитель как сумму полученных чисел. Выполнить почленное деление и сократить получившиеся дроби.
2 случай (разложение дроби с числителем, отличным от 1)
1 шаг. Домножить числитель и знаменатель дроби на число так, чтобы числитель новой дроби минимально превышал знаменатель старой дроби.
2 шаг. Представить числитель новой дроби как сумму двух чисел, одно из которых является делителем знаменателя. Разложить дробь на сумму двух дробей, выполнив почленное деление. Сократить первую дробь (получится аликвотная, т.к. числитель является делителем знаменателя).
3 шаг. Если вторая дробь не является аликвотной, повторить для нее выполнение шагов 1-2.
1 шаг. Домножить числитель и знаменатель дроби на число так, чтобы числитель новой дроби минимально превышал знаменатель старой дроби.
2 шаг. Представить числитель новой дроби как сумму двух чисел, одно из которых является делителем знаменателя. Разложить дробь на сумму двух дробей, выполнив почленное деление. Сократить первую дробь (получится аликвотная, т.к. числитель является делителем знаменателя).
3 шаг. Если вторая дробь не является аликвотной, повторить для нее выполнение шагов 1-2.
Дроби в Древнем Египте
В Древнем Египте «настоящими» считались только аликвотные дроби, а остальные дроби стремились представить как сумму аликвотных.
Египтяне использовали только две дроби не являющиеся аликвотными – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби 1/2.
Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (уаджет).
Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1 /2 до 1 /64 .
Египтяне использовали только две дроби не являющиеся аликвотными – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби 1/2.
Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (уаджет).
Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1 /2 до 1 /64 .
Глаз Гора
"Особые" дроби
Эти дроби также требовались для измерения объемов. Единица объема зерна называлась хекат (4,785 л), хекат состоял из 10 хену (хин) и делился на 64 части. Двойной или четверной хекат также использовался для измерений урожая.
Дроби в Древнем Вавилоне
Известно, что в древнем Вавилоне использовали шестидесятеричную систему счисления
Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000 и т.д.
Это первые в мире систематические дроби, т.е. дроби, у которых знаменателем являются степени одного и того же числа. Пользуясь такими дробями, вавилоняне должны были многие дроби изображать приближенно. В этом недостаток и в то же время преимущество этих дробей.
Эти дроби стали постоянным орудием научных вычислений греческих, а затем арабоязычных и средневековых европейских ученых вплоть до XV века, пока не уступили место десятичным дробям. Но шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов вплоть до XVII, называя их астрономическими дробями.
Кроме того, для вычислений с дробями вавилоняне составляли обширнейшие таблицы, выражавшие в шестидесятиричных дробях основные дроби. Например:
1/16 = 3/60 + 45/60 2 , 1/54 = 1/60 + 6/602 + 40/603 .
Сложение и вычитание дробей вавилонянами производилось аналогично соответствующим действиям над целыми числами и десятичными дробями в нашей позиционной системе счисления. Но как умножалась дробь на дробь? Достаточно высокое развитие измерительной геометрии (землемерие, измерение площадей) позволяет предположить, что вавилоняне преодолевали эти затруднения с помощью геометрии: изменение линейного масштаба в 60 раз дает изменение масштаба площади в 60 · 60 раз. Следует заметить, что в Вавилоне расширение области натуральных чисел до области положительных рациональных чисел окончательно не произошло, так как вавилоняне рассматривали только конечные шестидесятеричные дроби, в области которых деление не всегда выполнимо. Кроме того, у вавилонян в обиходе были дроби 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 1/5, 1/6, 5/6, для которых существовали индивидуальные знаки.
Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000 и т.д.
Это первые в мире систематические дроби, т.е. дроби, у которых знаменателем являются степени одного и того же числа. Пользуясь такими дробями, вавилоняне должны были многие дроби изображать приближенно. В этом недостаток и в то же время преимущество этих дробей.
Эти дроби стали постоянным орудием научных вычислений греческих, а затем арабоязычных и средневековых европейских ученых вплоть до XV века, пока не уступили место десятичным дробям. Но шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов вплоть до XVII, называя их астрономическими дробями.
Кроме того, для вычислений с дробями вавилоняне составляли обширнейшие таблицы, выражавшие в шестидесятиричных дробях основные дроби. Например:
1/16 = 3/60 + 45/60 2 , 1/54 = 1/60 + 6/602 + 40/603 .
Сложение и вычитание дробей вавилонянами производилось аналогично соответствующим действиям над целыми числами и десятичными дробями в нашей позиционной системе счисления. Но как умножалась дробь на дробь? Достаточно высокое развитие измерительной геометрии (землемерие, измерение площадей) позволяет предположить, что вавилоняне преодолевали эти затруднения с помощью геометрии: изменение линейного масштаба в 60 раз дает изменение масштаба площади в 60 · 60 раз. Следует заметить, что в Вавилоне расширение области натуральных чисел до области положительных рациональных чисел окончательно не произошло, так как вавилоняне рассматривали только конечные шестидесятеричные дроби, в области которых деление не всегда выполнимо. Кроме того, у вавилонян в обиходе были дроби 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 1/5, 1/6, 5/6, для которых существовали индивидуальные знаки.
Клинописные вавилонские таблички
Гипотезы возникновения вавилонской системы счисления
1
Гипотеза Теона Александрийского
(IV в н.э.)
(IV в н.э.)
Полагает, что основание 60 выбрано благодаря большому количеству делителей у числа 60
2
Гипотеза Морица Кантора
(ок. 1900)
(ок. 1900)
М. Кантор предположил, что сумерийцы (первичное население долины Евфрата) считали год равным 360 суткам, поэтому шестидесятеричная система имеет астрономическое происхождение
Происхождение числа 60 в качестве основания вавилонской системы счисления, а также чисел 12, 30 и 360 как узловых чисел всех календарных систем, систем измерения времени и угловых величин можно объяснить с позиций астрологических и астрономических знаний и основанных на них представлений о гармонии Вселенной (Юпитеру примерно за 12 лет делает полный оборот вокруг Солнца, Сатурн - примерно за 30 лет). Приняв 60 лет в качестве главного цикла Солнечной системы, составителям древних календарей удалось идеально согласовать циклы Юпитера (5x12=60) и Сатурна (2x30=60)
Гипотеза Кантора касается вопроса о происхождении основания 60, но не самого позиционного принципа представления чисел.
Происхождение числа 60 в качестве основания вавилонской системы счисления, а также чисел 12, 30 и 360 как узловых чисел всех календарных систем, систем измерения времени и угловых величин можно объяснить с позиций астрологических и астрономических знаний и основанных на них представлений о гармонии Вселенной (Юпитеру примерно за 12 лет делает полный оборот вокруг Солнца, Сатурн - примерно за 30 лет). Приняв 60 лет в качестве главного цикла Солнечной системы, составителям древних календарей удалось идеально согласовать циклы Юпитера (5x12=60) и Сатурна (2x30=60)
Гипотеза Кантора касается вопроса о происхождении основания 60, но не самого позиционного принципа представления чисел.
3
Гипотеза Георга Кевича
(1904)
(1904)
Кевич считал, что данная система возникла после объединения двух народов, из которых у одного была десятичная система счисления, а у другого основанием было число 6 (возникновение такого основания Кевич объясняет особым счетом на пальцах, в котором сжатая в кулак рука означала 6). Благодаря слиянию обеих систем возникло "компромиссное" основание 60. Как и гипотеза Кантора, гипотеза Кевича не объясняет позиционного принципа представления чисел.
4
Гипотеза
Отто Нейгербауэра
(1927)
Отто Нейгербауэра
(1927)
Причина использования числа 60 как "большой единицы" лежит в метрологии: веса, являвшиеся одновременно денежными единицами, были упорядочены по 60-ричной системе:
1 талант = 60 мин
1 мина = 60 шекелей.
1 талант = 60 мин
1 мина = 60 шекелей.
5
Гипотеза
Франсуа Тюро-Данжена
(1932)
По мнению Ф. Тюро-Данжена, отношение 60 было перенесено с отвлеченных чисел на денежный счет, а не наоборот.
Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.
Франсуа Тюро-Данжена
(1932)
По мнению Ф. Тюро-Данжена, отношение 60 было перенесено с отвлеченных чисел на денежный счет, а не наоборот.
Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.
6
Гипотеза Ивана Николаевича Веселовского (1955)
Гипотеза Джорджа Ифре (1985)
Гипотеза Джорджа Ифре (1985)
Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке).
Аналогичное разложение числа 60 как произведения 12 и 5 использует Джордж Ифре, но, согласно его теории, шестидесятеричная система возникла в результате смешения системы по основанию 12 и системы по основанию 5. Существуют документальные подтверждения тому, что использовались обе эти системы.
Аналогичное разложение числа 60 как произведения 12 и 5 использует Джордж Ифре, но, согласно его теории, шестидесятеричная система возникла в результате смешения системы по основанию 12 и системы по основанию 5. Существуют документальные подтверждения тому, что использовались обе эти системы.
Наше мнение
Очевидно, что нельзя отрицать взаимосвязь системы дробей с денежными расчетами и системой измерения. Однако спор о том, что было первоисточником, очень напоминает извечный вопрос о яйце и курице.
На наш взгляд, так как дроби возникли из необходимости деления некоторого объекта на части, то число 60 является удобным "делимым" (а это свойство оно приобретает в силу большого числа делителей, как предполагает Теон Александрийский).
На наш взгляд, так как дроби возникли из необходимости деления некоторого объекта на части, то число 60 является удобным "делимым" (а это свойство оно приобретает в силу большого числа делителей, как предполагает Теон Александрийский).
Дроби в Древнем Риме
Монета - треть асса
Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с весом.
Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.
В ходу были и такие названия: «семис» - половина асса, «секстанс» - шестая его доля, «семиунция» - половина унции, т. е. 1/24 асса и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция.
Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.
В ходу были и такие названия: «семис» - половина асса, «секстанс» - шестая его доля, «семиунция» - половина унции, т. е. 1/24 асса и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция.
Римские дроби
Наше мнение
Несмотря на то, что римские дроби имеют очень важное значение в истории развития счисления дробей, так как представляют случай непосредственного применения метрологической системы к счислению абстрактных дробей, мы считаем, что наиболее прогрессивной была система счисления вавилонская.
Многие, рассуждая о значимости римской системы, апеллируют тем, что её отголоски мы встречаем до сих пор - число 12 регулярно встречается в различных сферах жизни: например, 12 месяцев в году, 12 знаков зодиака, наборы столовых приборов на 6 или 12 персон. Однако есть смысл вспомнить, что 12-ричная система счисления присуща не только древнеримским дробям, но и современной британской системе мер, поэтому современный счет "дюжинами" в большей степени является следствием именно ныне существующей британской системы, нежели удобством древнего римского счета.
Вавилонская же система во многом опередила своё время, начав использовать принцип "позиционности" счисления, тем самым сильно упрощая дальнейшие арифметические действия (а как известно - основное назначение чисел всё-таки счёт). Кроме того, вавилонская система выработала одинаковые подходы к работе с дробными и целыми числами, что существенно облегчает обучение арифметике.
Многие, рассуждая о значимости римской системы, апеллируют тем, что её отголоски мы встречаем до сих пор - число 12 регулярно встречается в различных сферах жизни: например, 12 месяцев в году, 12 знаков зодиака, наборы столовых приборов на 6 или 12 персон. Однако есть смысл вспомнить, что 12-ричная система счисления присуща не только древнеримским дробям, но и современной британской системе мер, поэтому современный счет "дюжинами" в большей степени является следствием именно ныне существующей британской системы, нежели удобством древнего римского счета.
Вавилонская же система во многом опередила своё время, начав использовать принцип "позиционности" счисления, тем самым сильно упрощая дальнейшие арифметические действия (а как известно - основное назначение чисел всё-таки счёт). Кроме того, вавилонская система выработала одинаковые подходы к работе с дробными и целыми числами, что существенно облегчает обучение арифметике.
